1. Utiliser Geogebra afin d'obtenir le nuage de points associés aux données du troisième exemple.

2. Tracer la droite de Mayer associée à ce nuage de points en faisant en sorte que le point moyen $PM_1$ portent sur les 5 premiers points.

En déplaçant les curseur a et b du fichier Geogebra ci-dessous, arrivez-vous à trouver une droite approchant mieux le nuage de points au sens des moindres carrés ?

Déterminer le coefficient de correlation de la série statistique à deux variables associée à l'exemple 2.

Déterminer le coefficient de correlation de la série statistique à deux variables associée à l'exemple 3.

À l'aide de deux changements de variables, nous allons trouver une courbe approchant très bien le nuage de points de l'exemple 1.

1. Premier changement de variable : travailler avec le nombre d'années écoulées depuis 2018, plutôt qu'avec l'année.
   Ce changement de variable revient à $x'=x-2018$.
   Dans la ligne 8 du Tableur de Geogebra, faire apparaître la première ligne du tableau suivant :

   $x'$ années écoulées depuis 2018	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
   $v=$ $\ln\left(\dfrac{900}{y}-1\right)$	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

2. Pour la seconde variable, on effectue le changement de variable suivant : $v=\ln\left(\dfrac{900}{y}-1\right)$.
   Dans la ligne 9 du Tableur de Geogebra, compléter la seconde ligne du tableau ci-dessus en saisissant dans la cellule B9 la formule =ln(900 / B2 - 1) puis en la reproduisant par glissement.

3. Obtenir le nuage de points associé aux deux variables $x'$ et $v$.
   Le nuage est-il bien allongé ?

4. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $(x';v)$.
   Interpréter le résultat.

5. Déterminer l'équation de la droite de régression de $v$ en $x'$.

6. En s'aidant du changement de variable $v=\ln\left(\dfrac{900}{y}-1\right)$, déduire que $\dfrac{900}{y}-1\approx 28 e^{-0.3131 x'}$.

7. En déduire que $y\approx \dfrac{900}{1+28 e^{-0.3131 (x-2018)}}$.

Le modèle permettant d'approcher $y$ à partir de $x$ grâce aux changements de variables est appelé modèle logistique.
La somme des carrés des écarts est alors bien meilleur que celle obtenue par l'ajustement affine.
Geogebra n'a pas réussi à trouver directement cet ajustement logistique : vous êtes meilleur.e.s que le logiciel ! Félicitations !

Une société conçoit et commercialise un jeu vidéo d'aventure.
Ce jeu est constitué de plusieurs niveaux. Un joueur débute au niveau 1 et peut passer au niveau supérieur en gagnant des points d'expérience.
Pour tout entier naturel $n$, non nul, on note $X_n$ le nombre de points d'expérience nécessaires (en milliers) pour passer du niveau $n$ au niveau $n + 1$.
Le tableau ci-dessous indique, pour quelques niveaux, le nombre de points d'expérience nécessaires (en milliers) pour passer au niveau suivant :

1. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $(n ; X_n )$. Arrondir le résultat au dixième et interpréter concrètement le résultat.

2. Déterminer une équation de la droite de régression de $X_n$ en $n$, sous la forme $X_n = a\times n + b$.

3. À l'aide de l'équation de la droite de régression trouvée précédemment, estimer le nombre de points d'expérience nécessaires pour passer du niveau 20 au niveau 21. Arrondir le résultat à 1 près.

4. Déterminer le premier niveau à partir duquel au moins 500 points d'expérience sont nécessaires pour passer au niveau suivant.

Une société commercialise des liseuses.
Le tableau ci-dessous, où $x_i$ désigne le rang de l'année mesuré à partir de l'année 2015, donne le nombre $y_i$ de liseuses de cette marque vendues annuellement depuis 2015.

1. 1. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $(x_i ; y_i)$. Arrondir le résultat au centième.

   2. Expliquer pourquoi le résultat obtenu permet d'envisager un ajustement affine.

2. Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, sous la forme $y = ax + b$. Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis au dixième.

3. 1. À l'aide de l'équation de la droite de régression trouvée précédemment, estimer le nombre de liseuses vendues en 2025.

   2. À l'aide de l'équation de la droite de régression trouvée précédemment, estimer le rang de l'année à partir duquel le nombre de liseuses vendues deviendrait supérieur à 3 000.

Le glaucome est une maladie dégénérative du nerf optique qui entraîne une perte progressive de la vision. Cette maladie entraîne la dégénérescence des fibres nerveuses chargées de transmettre au cerveau les informations issues de la rétine.

La technique d’imagerie Tomographie en Cohérence Optique (OCT) permet de scanner la rétine et le nerf optique : en mesurant l’épaisseur des fibres du nerf optique on peut en déduire le nombre de fibres nerveuses optiques d’une personne.

On a mesuré l’évolution du nombre $N$ de fibres nerveuses optiques, en millier, en fonction du temps $t$ , exprimé en mois, d’une personne atteinte d’un glaucome aigu.
L’instant $t = 0$ représente le moment d’apparition du glaucome aigu.
On obtient les résultats suivants :

1. 1. À l’aide du graphique expliquer pourquoi un ajustement affine de $N$ en $t$ ne semble pas approprié.

   2. Quel calcul permet de vérifier la non pertinence d'un ajustement affine dans ce cas ? Faire le calcul sur Geogebra.

2. On décide de procéder à un changement de variable, en posant : $z=\ln(N-375)$.
   On obtient alors le tableau de valeurs suivant (les résultats ont été arrondis à $10^{-2}$).

   Temps $t$ (en mois)	0	1	2	3	4	6	8	12	18	24
   $z$	6.43	6.31	6.19	6.06	5.95	5.70	5.46	5.00	4.29	3.53

   1. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire associé à cette série statistique $(t ; z)$.

   2. Comparer les coefficients de corrélation linéaire des séries $(t ; N)$ et $(t ; z)$ et préciser pour quelle série un ajustement affine est-il le plus pertinent.

   3. Donner, à l’aide de Geogebra, une équation de la droite de régression de $z$ en $t$ selon la méthode des moindres carrés, sous la forme : $z = at + b$, où $a$ et $b$ seront arrondis au millième.

   4. En déduire une expression de $N$ en fonction de $t$ de la forme : $N = A e^{-0.12t} + 375$, où $A$ sera arrondi à l’unité.

   5. En utilisant l'ajustement de la question précédente, pouvez-vous savoir si à très long terme le glaucome va détruire l'ensemble des fibres du nerf optique ?

   6. Que pouvez-vous dire quant à la pertinence d'utiliser l'ajustement obtenu pour une extrapolation à très long terme ?

Pour fabriquer des montures, on chauffe un matériau à 150 °C puis on le sort du four et on le laisse refroidir à température ambiante (28 °C).

Pour étudier le refroidissement du matériau, on a réalisé des relevés de température et réalisé un croquis.

1. Justifier qu'un ajustement affine de $y$ en $t$ n'est pas pertinent.

2. On pose $z = \ln(y - 28)$.
   Recopier et compléter le tableau. Les valeurs de $z$ seront arrondies au centième.

   Temps $t$ (minutes)	0	1	2	3	4	5	6
   Température $y$ (°C)	150	113	82	65	52	44	40
   $z=\ln(y-28)$	4,80	4,44

3. On note $r$ le coefficient de corrélation de la série $(t ; z)$.
   On sait que $r \approx -0,999$.
   Sur la base de cette information, répondre aux deux questions suivantes en justifiant.

   1. La corrélation de la série $(t ; z)$ est-elle bonne ?

   2. Le nuage de points $(t ; z)$ a-t-il une allure croissante ?

4. Déterminer l’équation de la droite de régression linéaire de $z$ en $t$ , selon la méthode des moindres carrés, sous la forme $z = at + b$.
   Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à $10^{-1}$.

5. En déduire une expression de $y$ en fonction de $t$ sous la forme $y = C e^{-0,4t} + 28$, où $C$ est une constante que l’on arrondira à l’unité.

6. En utilisant l'ajustement non affine de la question précédente, estimer l'instant à partir duquel la température du matériau devient inférieure à 50 °C.

7. En utilisant le même ajustement non affine, déterminer la température moyenne du matériau durant les 6 premières minutes qui suivent la sortie du four. Arrondir au dixième.

La fabrication de verre minéral résulte d’une fusion de trois éléments (quartz, potasse et oxyde). Tous ces éléments sont chauffés jusqu’à leur température de fusion de 1 500 degrés Celsius dans un four à cuve de vitrification, puis brassés pendant plusieurs heures. Le verre liquide est ensuite acheminé à une presse automatique qui produit des ébauches de verres, lesquels sont refroidis lentement jusqu’à température ambiante dans un four de recuit.

On a mesuré la température du verre minéral dans la cuve de vitrification depuis le début du processus de chauffage jusqu’à la fusion. On obtient les résultats suivants :

Représentation de la série $(t ; T )$ :

Le coefficient de corrélation linéaire de la série $(t ; T )$ est $r_1 \approx 0,865$.
L’allure du nuage de points représentant la série conduit à procéder à un changement de variable, en posant : $z=\ln\left(\dfrac{1500}{1500-T}\right)$.
On obtient le tableau de valeurs suivant (les résultats ont été arrondis à $10^{-3}$ près) :

1. Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r_2$ de cette nouvelle série $(t ; z)$.

2. Expliquer pourquoi le changement de variable est pertinent.

3. Déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en $t$ selon la méthode des moindres carrés, sous la forme $z = at +b$, où $a$ et $b$ sont arrondis au millième.

4. En déduire, en utilisant le changement de variable, une expression de $T$ en fonction de $t$ de la forme $T = A e^{-0,251t} +1500$, où $A$ est arrondi à l’unité.

5. Utiliser l'ajustement obtenue à la question précédente pour intrapoler la température du verre au bout de 12 minutes.

6. Utiliser ce même ajustement pour savoir à quel moment le verre atteint la température de 1496°C.
   Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?

On cherche à évaluer l’effet d’un pesticide que l’on peut trouver dans les rivières, sur la diminution de la fertilité d’une population de poissons. Pour cela un laboratoire va disposer huit aquariums, contenant chacun dix poissons de la même espèce et de l’eau avec différentes quantités de ce pesticide. Au bout d’un mois on relève le nombre total d’œufs pondus par les poissons des différents aquariums et on obtient les résultats suivants :

Un ajustement affine ne semblant pas approprié, on effectue le changement de variable : $y = -\ln\left(\dfrac{250}{N}-1\right)$.

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en arrondissant les résultats à $10^{-3}$ :

   Numéro de l’aquarium	1	2	3	4	5	6	7	8
   Concentration en pesticide (en mg/L) ($x_i$)	0	1	4	5	6	7	8	10
   Nombre d’œufs pondus dans le mois ($N_i$)	249	248	246	230	130	50	40	35
   $y_i=$ $-\ln\left(\dfrac{250}{N_i}-1\right)$	5,52				0,08

2. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique $(x_i ; y_i)$. Arrondir à $10^{-3}$.
   Interpréter le résultat.

3. Déterminer une équation de la droite d’ajustement de la série statistique $(x_i ; y_i)$ par la méthode des moindres carrés sous la forme $y = ax + b$. On arrondira $a$ et $b$ à $10^{-3}$.

4. On note $N(x)$ la fonction modélisant le nombre d’œufs pondus dans un aquarium en un mois, en fonction de la concentration $x$ en pesticide (en mg/L).

   1. En s’aidant du changement de variables $y=-\ln\left(\dfrac{250}{N}-1\right)$, vérifier que $N(x)$ est solution de l’équation $\dfrac{250}{N(x)}-1=e^{0,857x-5,905}$.

   2. En déduire que l’expression de la fonction $N$ est : $N(x)=\dfrac{250}{1+e^{0,857x-5,905}}$.

Pour les deux questions suivantes, on admet que la fonction $N$ modélise le nombre d’œufs pondus par mois dans un aquarium, en fonction de la concentration $x$ en pesticide (en mg/L) sur l’intervalle $[0; 50]$.

5. La concentration efficace médiane notée CE50 est la concentration qui correspond à une diminution de 50 % du nombre d’œufs pondus par mois par rapport à une eau sans pesticide.
   Déterminer cette concentration CE50 à $10^{-1}$ près. Expliquer votre démarche.

6. Estimer, à l’unité près, le nombre moyen d’œufs pondus par mois, pour des concentrations en pesticide comprises entre 4 et 6 mg/L.